Lineare Algebra Beispiele

$8 x - 6 y = - 20$ , $- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1

Löse in $8 x - 6 y = - 20$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $6 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = - 20 + 6 y$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 20 + 6 y$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 20 + 6 y$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 20}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 20}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = \frac{- 20}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = \frac{- 20}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 20$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 20$ heraus.

$x = \frac{4 (- 5)}{8} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = \frac{- 5}{2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{6 y}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 (3 y)}{8}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 (3 y)}{2 (4)}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 (3 y)}{2 \cdot 4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 16 x + 7 y = 30$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- 16 x + 7 y = 30$ durch $- \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$ .

$- 16 (- \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}) + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- 16 (- \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}) + 7 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 16 (- \frac{5}{2}) - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{2}$ in den Zähler.

$- 16 (\frac{- 5}{2}) - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$2 (- 8) (\frac{- 5}{2}) - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (- 8 (\frac{- 5}{2})) - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \cdot - 5 - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 8 \cdot - 5 - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 5$ .

$40 - 16 \frac{3 y}{4} + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$40 + 4 (- 4) (\frac{3 y}{4}) + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$40 + 4 \cdot (- 4 \frac{3 y}{4}) + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$40 - 4 (3 y) + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$40 - 4 (3 y) + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$40 - 12 y + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$40 - 12 y + 7 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Addiere $- 12 y$ und $7 y$ .

$40 - 5 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$40 - 5 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$40 - 5 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$40 - 5 y = 30$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3

Löse in $40 - 5 y = 30$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = 30 - 40$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $40$ von $30$ .

$- 5 y = - 10$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$- 5 y = - 10$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = - 10$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = - 10$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 10}{- 5}$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{- 10}{- 5}$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 10}{- 5}$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{- 10}{- 5}$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = \frac{- 10}{- 5}$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 5$ .

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{5}{2} + \frac{3 y}{4}$ durch $2$ .

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3 (2)}{4}$

$y = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{5}{2} + \frac{3 (2)}{4}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = - \frac{5}{2} + \frac{6}{4}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 (3)}{4}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

$y = 2$

$x = - \frac{5}{2} + \frac{3}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 5 + 3}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.4.1

Addiere $- 5$ und $3$ .

$x = \frac{- 2}{2}$

$y = 2$

Schritt 4.2.1.4.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$x = - 1$

$y = 2$

$x = - 1$

$y = 2$

$x = - 1$

$y = 2$

$x = - 1$

$y = 2$

$x = - 1$

$y = 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, 2)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, 2)$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = 2$

Schritt 7